Алгебраическая форма записи комплексного числа онлайн. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Комплексные числа
Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината
комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.
Операции с комплексными числами. Геометрическое
представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Операции с комплексными
числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая
D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физикии техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Основные договорённости:
1. Действительное число
а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .
3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.
Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:
( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.
П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение
двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному
положительному числу.
Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .
Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i
И выполнив все преобразования, получим:
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r
План урока.
1. Организационный момент.
2. Изложение материала.
3. Домашнее задание.
4. Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент .
II. Изложение материала .
Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
Введение понятия комплексного числа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1 .
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i .
Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .
Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .
2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .
Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i) .
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i .
3) Умножение.
Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .
Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .
2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .
4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .
4) Деление.
Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда
.
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное .
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Рассмотрим квадратное уравнение .
Определим его корни .
Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в виде . При этом и - комплексные числа, в которых -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число .
В общем виде комплексное число имеет вид
z = x + iy ,
где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j . Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{ z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .
Определение множества комплексных чисел С
Это выражение читается следующим образом: множество С , состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.
Два комплексных числа и равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .
Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.
- Арифметика комплексных чисел
Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.
Соответственно разность двух комплексных чисел
Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.
Комплексно сопряженные числа z и z * отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что
.
Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду i заменить на - i , т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и – i алгебраически неразличимы, поскольку .
Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:
Деление двух комплексных чисел:
Пример :
- Комплексная плоскость
Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).
На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью , на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси . При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью . Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА .
Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой .
Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.
Если на плоскости задать полярную систему координат , то каждое комплексное число z определяется полярными координатами . При этом модуль числа – это полярный радиус точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа z .
Модуль комплексного числа всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять условию . Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.
Главное значение аргумента определяют по выражениям:
Очевидно, что
При этом
, .
Представление комплексного числа z в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример .
- Показательная форма комплексных чисел
Разложение в ряд Маклорена для функций действительного аргумента имеет вид:
Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер
.
Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как
Получившееся тождество называется формулой Эйлера .
Для отрицательного аргумента оно имеет вид
Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса
.
Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел
можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде
,
где - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x, y ).
Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .
Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел
Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90
При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.
Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества
с помощью формулы Эйлера можно записать
Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов
- Степени, корни и логарифмы комплексных чисел
Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле
Пример . Вычислим .
Представим число в тригонометрической форме
’
Применяя формулу возведения в степень, получим
Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.
Корень n –й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению
Пример . Найдем .
Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме
.
По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем
Логарифм комплексного числа z – это число w , для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле
Состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω .
При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.
Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения
заключается в умножении его на iω - вещественная часть функции f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .
Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w . При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w , фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.