Приведение плоской системы сил к точке. Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4. Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1" и F1"", параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1" , приложенную в точке О, и пару сил F1" F1"" с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2", приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:
Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F"гл, равной геометрической сумме составляющих,
Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F"гл.

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения
Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента). Необходимо усвоить, что главный вектор F"гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F"гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:
1. - общий случай; система приводится главному вектору и к главному моменту.
2. ; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
3. ; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.
4. ; система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно доказать, что в общем случае, когда, всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором , приложенным в точке О, и главным моментом . Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. . Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора, т. е. . Одну из сил, составляющих пару, приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: . Следовательно .

Расположим пару сил так, чтобы сила F"" была направлена в сторону, противоположную главному вектору F"гл. В точке О имеем две равные взаимнопротивоположные силы F"гл и F"", направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .Теорема о моменте равнодействующей(теорема Вариньона) В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F"гл и к главному моменту Mгл относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О:

Было показано, что можно выбрать центр приведения, относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору . Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы F равно , получаем .

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из предыдущих уравнений находим.

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона:момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

17. Статический момент площади сечения Статические моменты сечения Sx и Sy используются главным образом для определения положения центра площади сечения и центральных осей.

Рассмотрим изменение статических моментов при параллельном переносе осей (рис. 1.1). Считая известными F , Sx и Sy в системе координат 0XY определим статические моменты S x1 , S y1 относительно новых осей x 1 , y 1 .

Рис. 1.1

Учитывая соотношения x 1 = x - a и y 1 = y - b получим: или S x 1 = Sx - bF; S y 1 = Sy - aF; (1.1) Оси x 1 , y 1 можно выбрать таким образом, чтобы выполнились условия: S x1 = 0, S y1 = 0. Оси , относительно которых статические моменты сечения равны нулю, называются центральнми. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения . Принимая S x1 = 0 и S y1 = 0, из выражения (1.1) координаты центра площади сечения относительно вспомогательных осей x, y определяются по формулам (обозначим x c = a, y c = b):

(1.2)

Соответственно, если площадь F и положение центра площади сечения (координаты x c , y c) в системе координат 0xy известны, то статические моменты сечения относительно осей x, y можно определить из выражений (1.2): Sx = F y c ; Sy = F x c . (1.3) Можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр площади сечения, равен нулю. При определении центра площади сложного сечения применяется следующая процедура: 1) сечение разбивается на n частей, площади (F i) и положение центров (C i) площади которых известны; 2) задается вспомогательная система координат, в которой определяются координаты центров площадей (x ci , y ci) этих частей; 3) вычисляются координаты составного сечения по формулам:

Решим теперь задачу о приведении произвольней системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил (рис. 40, а).

Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (18) равны:

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R, приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (19),

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (20),

Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, мы доказали следующую теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 40, б).

Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).

Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

Приведение системы сил к центру

Вопросы

Лекция 6

3. Условия равновесия произвольной системы сил

1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.

Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).

Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).

Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру

Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

2. Приведение системы сил к простейшему виду

Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:

a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.

б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .

в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .

г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Динамический винт

д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил

Плоская система произвольно расположенных сил.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку,не лежащую на линии действия силы.

Возьмем силу F, приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложимв точке О две силы F" и F", противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе F, т. е. F" = F" = F. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F", приложенной в точке О, и пары сил FF" с моментом М = Fa. Эту пару сил называют присоединенной , а ее плечо а равно плечу силы F относительно точки О.

Таким образом, при приведении силы F к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила F, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

В качестве примера приведения силы рассмотрим действие силы F на конец С защемленного стержня (рис.28,б). После приведения силы F в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу F1 равную и параллельную заданной, и присоединенный момент М, равный моменту заданной силы F относительно точки приведения О,

1.4.2 Приведение плоской системы сил к данной точке

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4.

Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1" и F1"", параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1" , приложенную в точке О, и пару сил F1" F1"" с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2", приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F"гл, равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F"гл.

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Необходимо усвоить, что главный вектор F"гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F"гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела A,B,C и D (рис. 19) приложены силы 1 , 2 , 3 и 4 . Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу 1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы ’ 1 и ’’ 1 , равные порознь по модулю заданной силе 1 , параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы 1 получим силу ’ 1 , приложенную в точке О , и пару сил 1 ’’ 1 (силы, образующие пару, отмечены черточками) с плечом а 1 . Поступив таким же образом с силой 2 ,приложенной в точке В , получим силу 2 , приложенную в точке О , и пару сил 2 ’’ 2 с плечом а 2 и т.д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А , В , С и D , мы заменили сходящимися силами ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 и ’ 4 , приложенными в точке О , и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О :

М 1 = Р 1 а 1 =М о ( 1); М 2 = Р 2 а 2 = М о ( 2);

М 3 = – Р 3 а 3 = М о ( 3); М 4 = – Р 4 а 4 = М о ( 4).

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой " , равной геометрической сумме составляющих,

" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i . (16)

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил.

На основании правила сложения пар сил из можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О :

М о = М 1 + М 2 + М 3 + М 4 = i = o ( i). (17)

По аналогии с главным вектором момент М 0 пары, равный алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения О , называют главным моментом системы относительно данного центра приведения О. Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы – главного вектора – и одной пары, момент которой называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения.

Необходимо усвоить, что главный вектор ’ не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе ’. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Величина и знак главного момента М 0 зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

1. " ≠ 0; М о ≠ 0 - общий случай; система приводится к главному вектору и к главному моменту.

2. " ≠ 0; М о = 0; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.

3. " = 0; М о ≠ 0; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

4. " = 0; М о = 0; система находится в равновесии.

Можно доказать, что в общем случае, когда " ≠ 0 и М о ≠ 0, всегда есть точка, относительно которой главный момент системы сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О , т.е. заменена главным вектором " ≠ 0 , приложенным в точке О , и главным моментом М о ≠ 0 (рис. 20).

Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т.е. М о < 0. Изобразим этот главный момент парой сил "" , модуль которых выберем равным модулю главного вектора " , т.е. R = R ’’ = R ’ . Одну из сил, составляющих пару, – силу "" – приложим в центре приведения О , другую силу –– в некоторой точке С , положение которой определится из условия: М о = ОС*R. Следовательно,

ОС = . (18)

Расположим пару сил "" так, чтобы сила "" была направлена в сторону, противоположную главному вектору " . В точке О (рис. 20) имеем две равные взаимно противоположные силы " и "" , направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .

§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору " и главному моменту М 0 относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О

М о = o ( i). (а)

Было показано, что можно выбрать центр приведения (на рис. 20 точка С ), относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору (R = R’ ). Определим момент равнодействующей относительно точки О . Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем

М о () = R*OC =R = М о. (б)

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим

М о () = o ( i). (19)

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.