Решение системы уравнений с 3 переменными. Решение системы трёх линейных уравнений с тремя переменными методом крамера

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

где aij- коэффициенты при неизвестных х, у и z, индексы: i = 1,2,3 - определяют номер уравнения и j = 1,2,3 - номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (3) называется тройка чисел (х0,у0,z0), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ уравнений с тремя неизвестными

Геометрически система уравнений (3) задает 3 плоскости в пространстве.

При этом возможны 3 случая:

• 1) плоскости пересекаются в единой точке с координатами (x0,y0,z0), система в этом случае имеет единственное решение - она совместна и определена;
• 2) плоскости совпадают друг с другом - система имеет бесконечное множество решений, т.е. она совместна, но не определена;
• 3) плоскости параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют - система несовместна и решений не имеет.

Данную систему (3) можно решить методом Крамера с помощью определителей третьего порядка.

Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Определение: Квадратной матрицей 3 -го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 3-х строк и 3-х столбцов и обозначается:

где аi,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2, 3 - определяет номер; строки, j = 1, 2, 3 - номер столбца. Элементы а11а22а33 образуют главную диагональ матрицы, а элементы а13а22а31 образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое вычисляется методом диагоналей - как разность суммы произведений элементов главных диагоналей и суммы произведений элементов побочных диагоналей.

Определитель 3-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:

Существует другой, универсальный способ вычисления определителей 3-го порядка, который называется методом разложения и реализуется по следующей схеме:

Данная формула называется формулой разложения по элементам 1-ой строки. Эта формула позволяет вычисление определителя 3-го порядка свести к вычислению определителей 2-го порядка.

Для раскрытия сущности этой формулы введем два понятия - минора и алгебраического дополнения.

Определение: Минором Мij элемента aij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, полученный путем вычеркивания i - строки и j - столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Так, для a11 соответствует минор M11 =, для a12 - минор M12=, а для а13- минор M13 =.

Определение: Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется его минор Мij, взятый со знаком +, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная и со знаком - , если эта сумма нечетная, т.е.: Aij = (-1)i+jMij.

Например: A11 = (-1)1+1M11 = M11; A12 = (-1)1+2M12 = -M12; A13 = (-1)1+3 M13 = M13.

Схема чередования знаков миноров для соответствующих элементов матрицы: .

Исходя из этих понятий, формулу разложения по элементам 1-ой строки при вычислении определителя 3-го порядка можно записать так:

Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу и равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Этот способ вычисления определителей называется методом разложения. Он универсален и применим для определителей любого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

Систему: (3) путем последовательного исключения неизвестных х, у и z можно привести к равносильной (эквивалентной) системе (4), имеющей одинаковые решения с исходной системой (3): (4), где - определитель системы, - определители неизвестных x, y, z, которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

При решении системы (4) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

Если определитель системы, то, поделив обе части уравнений системы на, найдем неизвестные по формулам Крамера:

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Три плоскости пересекаются в одной точке с координатами (х0, у0, z0).

1. Если определитель системы и все определители неизвестных, то имеем и при любых значениях x, y и z имеем верное тождество.

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Плоскости совпадают друг с другом.

2. Если определитель системы, а определители неизвестных могут быть или или, то имеем:, что невозможно при любых значениях х и у.

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Плоскости параллельны друг другу и общих точек не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

• 1) Вычислим определители системы и неизвестных, х, у и z.
• а) методом разложения по 1-ой строке:

б) методом диагоналей:

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х0 ; у0 = z0 =

Проверка: (верно).

Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид

Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :

Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где x – любое число.

Замечание . Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений . Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y ) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид

где a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – заданные числа.

Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a 1 , b 1 , a 2 , b 2 называют , а числа c 1 , c 2 – свободными членами .

Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y ) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

Системы линейных уравнений решают с помощью , который мы проиллюстрируем на примерах.

Пример 2 . Решить систему уравнений

Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .

С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид

Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

Ответ . (-2 ; 3) .

Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений

а ) имеет единственное решение;

б ) имеет бесконечно много решений;

в ) не имеет решений.

Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим

Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 - p ) (2 + p ) = 2 + p

(9)

Если , то уравнение (9) имеет единственное решение

Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение

Если p = - 2 , то уравнение (9) принимает вид

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где y - любое число.

Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет .

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Определение 7 . Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид

где a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – заданные числа.

Определение 8 . В системе уравнений (10) числа a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 называют коэффициентами при неизвестных , а числа d 1 , d 2 , d 3 – свободными членами .

Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z ) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .

Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (11) преобразуется в

Система линейных уравнений имеет вид

где - коэффициенты; - свободные члены; - неизвестные величины.

Решением этой системы называется совокупность чисел которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (2).

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы (2) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширенной матрицы:

Правило Крамера. Если ранг матрицы совместной системы равен числу ее неизвестных, то система является определенной. Если число неизвестных системы (2) совпадает с числом уравнений и матрица системы невырожденная то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера:

В этих формулах - определитель системы, а - определитель, полученный из определителя системы заменой столбца столбцом свободных членов

Матричное решение системы. Система линейных уравнений (2) может быть записана в матричной форме

где А - матрица системы; X - матрица-столбец неизвестных; В - матрица-столбец свободных членов. Если матрица А квадратная и невырожденная, то решение системы (3) может быть записано в матричной форме:

Равносильные системы уравнений. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Нахождение решений системы линейных уравнений основано на переходе к равносильной системе, которая проще исходной. Укажем простейшие операции, которые приводят к равносильной системе:

1) перемена местами двух уравнений в системе;

2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число (отличное от нуля);

3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Неизвестное называется разрешенным или базисным, если какое-нибудь уравнение системы содержит его с коэффициентом 1, а во все остальные уравнения не входит.

Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такая система называется разрешенной. Ее неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными.

Для отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений достаточно найти равносильную ей разрешенную систему. Если все неизвестные окажутся базисными, то разрешенная система дает значения этих неизвестных, составляющие единственное решение исходной системы. В противном случае выражают базисные неизвестные через свободные.

Метод Жордана - Гаусса. Запишем систему линейных уравнений (2) в виде таблицы

Жордановым преобразованием системы с разрешающим элементом называется следующая последовательность действий:

1) умножение строки таблицы на число ;

2) прибавление к первой строке таблицы ее строки (полученной после первого действия), умноженной на -

3) прибавление ко второй строке строки, умноженной на - и т. д.

После этих преобразований неизвестное станет разрешенным, все коэффициенты столбца будут равны нулю, кроме

Проводя последовательно жордановы преобразования с разрешающими элементами, взятыми в различных строках, получим разрешенную систему, равносильную исходной.

Если в результате преобразований все коэффициенты при неизвестных в какой-нибудь строке окажутся равными нулю, а свободный член этой строки не будет равным нулю, то данная система уравнений несовместна. Если же получится строка, состоящая из одних нулей, то она вычеркивается из таблицы.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Запишем эту систему в виде таблицы и проведем ее преобразование к разрешенному виду в шесть шагов.

Содержание урока

Линейные уравнения с двумя переменными

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .

25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе

Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y

25x + 10y = 200

Сколько корней имеет данное уравнение?

Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.

Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .

6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:

В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .

Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0

Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20

Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:

x ∈ Z, y ∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.

Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y

Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 .Они обращают данное уравнение в тождество.

Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными . Решением или корнями этого уравнения называют пару значений (x; y ), которая обращает его в тождество.

Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.

Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.

Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y ) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.

Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде. В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.

На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни толькона множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.

Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y

Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5

Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −27,5

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными . Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).

Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.

Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.

Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.

Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.

Поставим текст задачи следующим образом:

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .

Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.

x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:

Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений, то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:

Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Метод подстановки

Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.

В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x

После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y

Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:

Пример 2

Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x

Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y

Значит решением системы является пара значение (5; 3)

Пример 3 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.

Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно .

Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.

После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:

Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y

Подставим y x

Значит решением системы является пара значений (3; 4)

Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:

Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .

Пример 4 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

y

Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:

Значит решением системы является пара значений (5; −3)

Метод сложения

Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.

Решим следующую систему уравнений:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:

Приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .

Значит решением системы является пара значений (9; 6)

Пример 2

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 5x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .

Значит решением системы является пара значений (4;3)

Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть к виду ac + by = c .

Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.

Например, систему можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x = 22 , корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.

А систему уравнений методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x + y = 28 , имеющее бесчисленное множество решений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.

Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .

Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3

В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)

Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.

Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.

Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2

Тогда получим следующую систему:

Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .

Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:

Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x . Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .

Пример 4 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:

Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .

Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2

Пример 5 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:

Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.

Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.

Пример 6 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12

В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8

Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x

Пример 7 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:

У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:

Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:

Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.

Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:

В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:

Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:

Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:

На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:

Пример 8 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12

Перепишем то, что осталось:

Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a

Система линейных уравнений с тремя переменными

В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:

ax + by + cz = d

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z ) которая обращает уравнение в тождество.

Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.

Пример 1 . Решить следующую систему уравнений методом подстановки:

Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:

Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z

Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z

Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z

Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Пример 2 . Решить систему методом сложения

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.

Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:

Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.

Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:

Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y

Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:

Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Задачи на составление систем линейных уравнений

Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.

Задача 1 . Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?

Решение

Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.

Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.

Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.

Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:

Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.

Подставим второе уравнение в первое и найдём y

Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x

Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.

А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.

Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.

Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км

Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.

Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.

Задача 2 . На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.

Решение

Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .

Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.

Тонны были переведены в килограммы, поскольку масса дубовых и сосновых шпал измерена в килограммах.

В результате получаем два уравнения, которые образуют систему

Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x

Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.

Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.

Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.

Задача 3 . Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2: 1 , 3: 1 и 5: 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4: 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ 3 ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Цель:

Развить умение преобразования матриц;

Сформировать навыки решения системы 3 линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера ;

Закрепить знания о свойствах определителей 2 и 3 порядка;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

Изучить краткие теоретические сведения;

Выполнить задания;

Сделать вывод по работе;

Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица , заполненная числами . Эти числа называются элементами матрицы .

Элементы матрицы , расположенные по горизонталям , образуют строки матрицы . Элементы матрицы , расположенные по вертикалям , образуют столбцы матрицы .

Строки нумеруются слева направо , начиная с номера 1, столбцы нумеруются сверху вниз , начиная с номера 1.

Матрица A , имеющая m строк и n столбцов , называется матрицей размера m на n и обозначается А m∙n . Элемент a i j матрицы A = { a ij } стоит на пересечении i - ой строки и j- го столбца .

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k – число, то k ∙ A ={ k ∙ a ij }.

Матрицы одного и того же размера A m ∙n и B m∙ n можно складывать, причем A m ∙n + B m∙ n = { a ij + b i j }.

Операция сложения матриц обладает свойствами A + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Пример 1. Выполнив действия над матрицами, найдите матрицу С= 2A - B, где, .

Решение.

Вычислим матрицу 2A размерности 3x3:

Вычислим матрицу С = 2A - В размерности 3x3:

C = 2 A - B .

Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое равенством:

.

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Рис.1.1. Рис.1.2.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из рисунка (1.1.), а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из рисунка (1.2).

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка по правилу Сарруса:

Решение:

Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка методом разложения по элементам первой строки:

Решение:

Используем формулу:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Рассмотрим основные свойства определителей:

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какое-либо число, то определитель матрицы умножится на это число.

Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы.

Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.

Свойства матриц и определителей широко применяют при решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

,

где х 1 , х 2 , х 3 – переменные, а 11 , а 12 ,…, а 33 - числовые коэффициенты. Следует помнить, что при решении системы возможен один из трёх вариантов ответа:

1) система имеет единственное решение – (х 1 ; х 2 ; х 3 );

2) система имеет бесконечно много решений (не определена);

3) система не имеет решений (несовместна).

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, который позволяет найти единственное решение системы, опираясь на умение вычислять определители третьего порядка:

Пример 3. Найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера:

Решение. Находим определители третьего порядка, используя правило Сарруса или разложение по элементам первой строки :

Находим решение системы по формулам:

Ответ: (- 152; 270; -254)

Задания для самостоятельного выполнения:

I . Найти матрицу преобразования.

II . Вычислить определитель III порядка.

III . Решить систему методом Крамера .

Вариант 1.

1. C = A +3 B , если, . 2. .

Вариант 2.

1. C =2 A - B ,если, . 2. .

Вариант 3.

1. C = 3 A + B , если, . 2. .

Вариант 4.

1. C = A - 4 B , если, . 2. .

Вариант 5.

1. C = 4 A - B , если, . 2. .

Вариант 6.

1. C = A +2 B , если, . 2. .

Вариант 7.

1. C =2 A + B , если, . 2. .

Вариант 8.

1. C =3 A - B , если, . 2. .

Вариант 9.

1. C = A - 3 B , если, . 2. .

Вариант 10.

1. C = A - 2 B , если, . 2. .

Вариант 11.

1. C = A +4 B , если, . 2. .

Вариант 12.

1. C =4 A + B , если, . 2. .

Вариант 13.

1. C = A +3 B , если, . 2. .

Вариант 14.

1. C =2 A - B , если, . 2. .

Вариант 15.

1. C =3 A + B , если, . 2. .

Вопросы для самоконтроля:

Что называется матрицей?

Правила вычисления определителей третьего порядка?

Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.