Волновые поверхности для плоской волны. Плоские волны

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

Колебательный процесс, распространяющийся в среде в виде волны, фронт которой представляет собой плоскость , называется плоской звуковой волной . На практике плоская волна может образовываться источником, линейные размеры которого велики по сравнению с длинной излученной им волн, и если зона волнового поля находится на достаточно большом удалении от него. Но так обстоит дело в неограниченной среде. Если источник огражден каким-либо препятствием, то классический пример плоской волны, это – колебания, возбужденные жестким несгибаемым поршнем в длинной трубе (волноводе) с жесткими стенками, если диаметр поршня значительно меньше длины - излучаемых волн. Поверхность фронта в трубе из-за жестких стенок не меняется по мере распространения волны по волноводу(см. рис. 3.3). Потерями звуковой энергии на поглощение и рассеяние в воздушной среде пренебрегаем.

Если излучатель (поршень) совершает колебания по гармоническому закону с частотой
, а размеры поршня (диаметр волновода) значительно меньше длины звуковой волны, то давление, создаваемое около его поверхности,
. Очевидно, что на расстояниих давление будет
, где
– время пробега волны от излучателя до точкиx. Это выражение удобнее записать, как:
, где
- волновое число распространения волны. Произведение
- определяемый фазовый набег колебательного процесса в точке, удаленной на расстояниех от излучателя.

Подставляя полученное выражение в уравнение движения (3.1), проинтегрируем последнее относительно колебательной скорости:

(3.8)

Вообще для произвольного момента времени оказывается, что:

. (3.9)

Правая часть выражения (3.9) – характеристическое, волновое, или удельное акустическое сопротивление среды (импеданс). Само уравнение (3.), иногда, называется акустическим «законом Ома». Как следует из решения, полученное уравнение справедливо в поле плоской волны. Давление и колебательная скорость синфазны , что является следствием чисто активного сопротивления среды.

Пример: Максимальное давление в плоской волне
Па. Определить амплитуду смещения частиц воздуха по частоте?

Решение: Так как , тогда:

Из выражения (3.10) следует, что амплитуда звуковых волн очень мала, по крайней мере, в сравнении с размерами самих источников звука.

Помимо скалярного потенциала, давления и колебательной скорости звуковое поле характеризуется и энергетическими характеристиками, важнейшей из которых является интенсивность - вектор плотности потока энергии, переносимой волной за единицу времени. По определению
- есть результат произведения звукового давления на колебательную скорость.

При отсутствии потерь в среде плоская волна, теоретически, может распространяться без ослабления на сколь угодно большие расстояния, т.к. сохранение формы плоского фронта свидетельствует об отсутствии «расходимости» волны, а, значит, и об отсутствии ослабления. Иначе обстоит дело, если волна обладает искривленным фронтом. К подобным волнам относят, прежде всего, сферическую и цилиндрическую волны.

3.1.3. Модели волн с неплоским фронтом

У сферической волны поверхность равных фаз является сферой. Источником такой волны также является сфера, все точки которой колеблются с одинаковыми амплитудами и фазами, а центр остается неподвижен (см. рис. 3.4, а).

Сферическая волна описывается функцией, являющейся решением волнового уравнения в сферической системе координат, для потенциала волны, распространяющейся от источника:

. (3.11)

Действуя по аналогии с плоской волной, можно показать, что на расстояниях от источника звука значительно больше длины изучаемых волн:
. Это значит, что акустический «закон Ома» выполняется и в данном случае. В практических условиях сферические волны возбуждаются, преимущественно, компактными источниками произвольной формы, размеры которых значительно меньше длины возбуждаемых звуковых или ультразвуковых волн. Иными словами, «точечный» источник излучает, преимущественно, сферические волны. На больших расстояниях от источника или, как принято говорить, в «дальней» зоне сферическая волна применительно к ограниченным по размерам участкам волнового фронта ведет себя как плоская волна, или как говорят: «вырождается в плоскую волну». Требования к малости участка определяются не только частотой, но
- разностью расстояний между сравниваемыми точками. Отметим, что указанная функция
имеет особенность:
при
. Это вызывает определенные трудности при строгом решении дифракционных задач, связанных с излучением и рассеянием звука.

В свою очередь цилиндрические волны (поверхность волнового фронта - цилиндр) излучаются бесконечно длинным пульсирующим цилиндром (см. рис.3.4).

В дальней зоне выражение для функции потенциала такого источника асимптотически стремится к выражению:


. (3.12)

Можно показать, что и в этом случае выполняется соотношение
. Цилиндрические волны, как и сферические, в дальней зоневырождаются в плоские волны.

Ослабление упругих волн при распространении связано не только с изменением кривизны волнового фронта («расходимостью» волны), но и с наличием «затухания» т.е. ослабления звука. Формально наличие затухания в среде можно описать, представив волновое число комплексным
. Тогда, например, для плоской волны давления можно получить:Р(x , t ) = P макс
=
.

Видно, что вещественная часть комплексного волнового числа описывает пространственную бегущую волну, а мнимая часть характеризует ослабление волны по амплитуде. Поэтому величина  называется коэффициентом ослабления (затухания),  - величина размерная (Непер/м). Один «Непер» соответствует изменению амплитуды волны в «е» раз при перемещении волнового фронта на единицу длины. В общем случае ослабление определяется поглощением и рассеянием в среде:  =  погл +  расс. Указанные эффекты определяются разными причинами и могут рассматриваться отдельно.

В общем случае поглощение связано с необратимыми потерями звуковой энергии при ее превращении в тепло.

Рассеяние связано с переориентацией части энергии падающей волны на другие направления, не совпадающие с падающей волной.

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Изучение волн начнем с простейшего случая одномерного движения среды, когда все характеристики волны зависят только от одной декартовой координаты, напрймер координаты х. Поверхности, на которых фаза данной волны имеет одно и то же значение, называют фронтами волны. В этом случае фронты - плоскости

Поскольку давление меняется только в направлении, перпендикулярном к фронтам, скорость частиц в одномерном движении также направлена перпендикулярно к фронтам.

Для одномерного звукового поля можно найти общее решение волнового уравнения, принимающего в этом случае вид

Сделаем в этом уравнении замену переменных

Частные производные давления по и по х выразятся через производные по новым переменным следующим образом:

Повторяя дифференцирование, найдем

Подставляя полученные выражения в волновое уравнение, получим

Отсюда следует, что частная производная др/да должна быть независимой от переменной ее можно считать произвольной

функцией от а:

Интегрируя по а, найдем

где также произвольные функции своих аргументов. Возвращаясь к исходным переменным, найдем, что общее решение одномерного волнового уравнения - так называемое «даламберово решение» - имеет вид

Любая функция от или от представит собой бегущую плоскую волну: первая - волну, бегущую направо, вторая - волну, бегущую налево. Общее решение одномерной задачи сводится к сумме двух плоских волн произвольной формы, бегущих навстречу друг другу. Каждая из этих волн в отдельности перемещается в направлении положительной (или отрицательной) оси х как твердое тело со скоростью с.

Таким образом, введение понятия скорости для плоской бегущей волны в среде делается оправданным. Однако оно неоднозначно. Вводя это понятие, мы неявно предполагаем, что волна движется как твердое тело в направлении оси х. Но картина нисколько не изменится, если считать, что возмущение движется как твердое тело в направлении, составляющем с осью х угол со скоростью , как это доказано на рис. 17.1 для синусоидальной волны. Оба случая принципиально неразличимы, так как неразличимы состояния возмущения среды в любых точках одного и того же фронта волны. Поэтому пока мы будем считать данное определение направления и величины скорости волны условным. Ниже, в гл. III, мы увидим, что есть и принудительные основания принимать именно такое определение, помимо очевидного удобства.

Приведем сводку важнейших соотношений между характеристиками бегущей плоской волны. Пусть давление в волне задано в виде

где верхний знак соответствует волне, бегущей в положительном, а нижний - в отрицательном направлении оси х. Связь между давлением, скоростью и сжатием в бегущей волне имеет вид

Отсюда, пользуясь (14.2), найдем еще соотношения

Участки среды, в которых сжатие (а значит, и давление) положительны, движутся в сторону бега волны, а участки отрицательных давлений движутся навстречу бегу волны. Частицы, в которых звуковое давление равно нулю, имеют и скорость, равную нулю.

Рис. 17.1. Двухмерный профиль давлений в плоской синусоидальной волне в плоскости, проходящей через направление распространения волны. Перемещение волны в направлении а со скоростью с неотличимо от перемещения в направлении со скоростью .

Если всегда считать направление бега волны положительным, то в положительном направлении будут двигаться сжатые участки, а в отрицательном - разреженные участки среды, и в формулах (17.2) и (17.3) всегда можно брать знак плюс. Отношение скорости частиц к давлению в бегущей волне при таком выборе положительного направления в любой момент времени равно величине

Это отношение называют волновой проводимостью среды. Она не зависит от формы волны, а только от свойств среды.

Величину обратную волновой проводимости, называют волновым сопротивлением среды.

Все приведенные здесь формулы справедливы только в отсутствие дисперсии.

Полученная нами запись плоской бегущей волны связана с выбором оси х в направлении распространения волны. Напишем

уравнение плоской волны в векторной форме. Это позволит в дальнейшем получить выражение для плоской волны и в любой системе координат.

Для этого введем вектор перпендикулярный к фронтам волны и равный по модулю обратному значению скорости: Вектор будем называть вектором медленности волны. Обозначим радиус-вектор произвольной точки среды, проведенный из начала координат, через Очевидно, Следовательно, уравнение бегущей плоской волны можно записать в виде

Рис. 17.2. Вектор медленности плоской волны и его проекции на координатные оси и координатные плоскости. Жирные стрелки - вектор медленности исходной волны и векторы медленности следов волны на оси х и на плоскости

Последняя запись не связана с выбором системы координат. Если для плоской бегущей волны известна зависимость давления от времени в какой-либо точке и вектор медленности 5 известен, то уравнение волны получится путем замены в этой зависимости времени на бином (где радиус-вектор проведен из данной точки). Соотношение (17.2) между скоростью частиц и давлением в плоской волне можно записать, пользуясь вектором медленности, в векторной форме:

Пользуясь (17.5), можно записать выражение для волны в координатной форме при любом расположении координатных осей относительно направления распространения волны:

Здесь проекции вектора медленности на координатные оси; углы вектора медленности с координатными осями (рис. 17.2).

«След» плоской волны на какой-либо оси, например на оси можно рассматривать как одномерную волну, бегущую вдоль оси х. Аналогично «след» волны на какой-нибудь плоскости, например плоскости можно рассматривать как двухмерную волну, бегущую на плоскости Временная зависимость всех величин, характеризующих волну, во всех следах та же, что и в исходной

волне, но медленности следов другие: они равны проекциям вектора медленности исходной волны на соответственные оси или плоскости. Так, медленность следа на оси х есть , а медленность следа на плоскости есть .

Вектор медленности исходной плоской волны и медленности ее следов на осях и плоскостях координат находятся в тех же соотношениях друг с другом, как вектор скорости движущейся материальной точки и скорости ее проекций на оси и на плоскости. При волновом подходе к акустическим процессам вектор медленности - понятие, имеющее непосредственный физический смысл, точно так же, как в механике материальных точек имеет смысл вектор скорости. Понятие же вектора скорости для волн имеет не больший смысл, чем понятие вектора медленности для движущейся точки. Лишь для одномерных движений, когда скорость или медленность можно считать скалярами и принципиально нет вопроса о проекциях или следах рассматриваемого объекта, можно было бы на равных правах применять понятие скорости и медленности как для волн, так и для материальных точек. Применимо всегда для тех и для других объектов и понятие медленности или скорости по модулю. В этом смысле обычно и говорят о скорости волн, а не о медленности; но так говорят только в силу привычки: мы чаще обсуждаем движение тел, чем волн.

То обстоятельство, что для волн понятие вектора скорости не имеет смысла и на его место становится понятие вектора медленности волны, связано с принципиальным различием между механикой волн и механикой материальных точек, о котором мы уже говорили в § 1.

: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в $-\backslash mathcal\{1\}$ и заканчивается в $+\backslash mathcal\{1\}$, чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия. Волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде спектра плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.

Квазиплоская волна - волна, фронт которой близок к плоскому в ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для рассматривамой задачи, то квазиплоскую волну можно приближённо считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать набором локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей который нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер , зеркальная и линзовая антенны : распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.

Определение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения , называемого волновым . Волновое уравнение для функции $A$ записывается в виде

$\backslash Delta\; A(\backslash vec\{r\},t)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{v^2\}\; \backslash ,\; \backslash frac\; \{\backslash partial^2\; A(\backslash vec\{r\},t)\}\; \{\backslash partial\; t^2\}$ где

• $\backslash Delta$ - оператор Лапласа ;
• $A(\backslash vec\{r\},t)$ - искомая функция;
• $r$ - радиус-вектор искомой точки;
• $v$ - скорость волны;
• $t$ - время.

Одномерный случай

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; \{E\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\; v^2\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Полная энергия это

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Плотность энергии, соответственно, равна

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; \{W\}\; \{\backslash Delta\; V\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash right)\; .$

Поляризация

Напишите отзыв о статье "Плоская волна"

Литература

• Савельев И.В. [Часть 2. Волны. Упругие волны.] // Курс общей физики / Под редакцией Гладнева Л.И., Михалина Н.А., Миртова Д.А.. - 3-е изд. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 с. - 220 000 экз.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Плоская волна

– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d"honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.

На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l"Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.