Бесконечно малые и большие функции их свойства. Предел функции — MT1205: Математический анализ для экономистов — Бизнес-информатика

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .

Бесконечно малая

Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x ) − a = α(x ) , .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия

Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин

Функция называется бесконечно малой при
или при
, если
или
.

Например: функция
бесконечно малая при
; функция
бесконечно малая при
.

Замечание 1. Никакую функцию без указания направления изменения аргумента бесконечно малой назвать нельзя. Так, функция
при
является бесконечно малой, а при
она уже не является бесконечно малой (
).

Замечание 2. Из определения предела функции в точке, для бесконечно малых функций выполняется неравенство
.Этим фактом мы в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.

Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.

Теорема (о связи функции, её предела и бесконечно малой): Если функция
может быть представлена в виде суммы постоянного числаА и бесконечно малой функции
при
, то число

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что функция
.

Выразим отсюда
:
. Поскольку функция
бесконечно малая, для неё справедливо неравенство
, тогда для выражения (
) также выполняется неравенство

А это значит, что
.

Теорема (обратная): если
, то функция
может быть представлена в виде суммы числаА и бесконечно малой при
функции
, т.е.
.

Доказательство:

Так как
, то для
выполняется неравенство
(*) Рассмотрим функцию
как единую и неравенство (*) перепишем в виде

Из последнего неравенства следует, что величина (
) является бесконечно малой при
. Обозначим её
.

Откуда
. Теорема доказана.

Теорема 1 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.

Пусть
и
бесконечно малые при
функции и
– сумма этих функций. Докажем, что для
, существует такое
, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, что для всех
выполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая функция,
, а следовательно существует такое, что для всех
выполняется неравенство
.

Возьмём равным меньшему из чисели, тогда в–окрестности точкиа будут выполняться неравенства
,
.

Составим модуль функции
и оценим его значение.

То есть
, тогда функция бесконечно малая, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции
при
на ограниченную функцию
есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Так как функция
ограниченная, то существует такое положительное число
, что для всехвыполняется неравенство
.

Так как функция
бесконечно малая при
, то существует такая–окрестность точки, что для всехих этой окрестности выполняется неравенство
.

Рассмотрим функцию
и оценим её модуль

Итак
, а тогда
– бесконечно малая.

Теорема доказана.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Доказательство:

Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.

Пусть
,
.

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой, функции
и
можно представить в виде
где
и
– бесконечно малые при
.

Найдём сумму функций
и

Величина
есть постоянная величина,
– величина бесконечно малая. Таким образом, функция
представлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число
является пределом функции
, т.е.

Теорема доказана.

Теорема 2 . Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

Доказательство:

Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций
и
.

Пусть , тогда
,

Найдём произведение функций
и

Величина
есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно, число
является пределом функции
, то есть справедливо равенство

Следствие:
.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля

Доказательство: Пусть
,

Тогда
,
.

Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования

Величина постоянная, дробь
бесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного числа и бесконечно малой функции.

Тогда
.

Замечание. Теоремы 1–3 доказаны для случая
. Однако, они могут быть применимы при
, поскольку доказательство теорем в этом случае проводится аналогично.

Например. Найти пределы:

Первый и второй замечательные пределы.

Функция не определена при
. Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при
. Этот предел носит названиепервого замечательного предела .

Он имеет вид:
.

Например . Найти пределы: 1.
. Обозначают
, если
, то
.
; 2.
. Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу.
; 3..

Рассмотрим переменную величину вида
, в которойпринимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если

Давая следующие значения из множества
, нетрудно увидеть, что выражение
при
будет
. Более того, доказывается, что
имеет предел. Этот предел обозначается буквой:
.

Число иррациональное:
.

Теперь рассмотрим предел функции
при
. Этот предел называетсявторым замечательным пределом

Он имеет вид
.

Например.

а)
. Выражение
заменим произведениемодинаковых сомножителей
, применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел; б)
. Положим
, тогда
,
.

Второй замечательный предел используется взадаче о непрерывном начислении процентов

При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:

где - первоначальный вклад,

- ежегодный банковский процент,

- число начислений процентов в год,

- время, в годах.

Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста

Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов

Непрерывность функций.

Рассмотрим функцию
определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки. Пусть в указанной точке функция имеет значение
.

Определение 1. Функция
называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки, включая саму точку и
.

Определение непрерывности можно сформулировать иначе.

Пусть функция
определена при некотором значении,
. Если аргументудать приращение
, то функция получит приращение

Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),

То есть, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Определение 2. Функция
называется непрерывной при
(в точке), если она определена в этой точке и некоторой её окрестности и если
.

Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:

или
, но
, тогда
.

Следовательно, для того чтобы найти предел непрерывной функции при
достаточно в аналитическое выражение функции вместо аргументаподставить его значение.

Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Например:

Пример 1. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках области определения.

Воспользуемся вторым определением непрерывности функции в точке. Для этого возьмём любое значение аргумента и дадим ему приращение
. Найдём соответствующее приращение функции

Пример 2. Доказать, что функция
непрерывна во всех точкахиз
.

Дадим аргументу приращение
, тогда функция получит приращение

Найдём так как функция
, то есть ограничена.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

Определение 4. Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого интервала
, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Исчисление бесконечно малых и больших

Бесконечно малая

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Бесконечно большая величина

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Во всех случаях бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx не является бесконечно большой при .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Определения

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

Эквивалентные величины

Определение

При справедливы следующие соотношения эквивалентности: , , .

Теорема

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно большая" в других словарях:

Переменная величина Y, обратная бесконечно малой величине X, то есть Y = 1/X … Большой Энциклопедический словарь

Переменная величина y, обратная бесконечно малой величине x, то есть y = 1/x. * * * БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ, переменная величина Y, обратная бесконечно малой величине X, то есть Y = 1/X … Энциклопедический словарь

В математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых (См.… … Большая советская энциклопедия

Определение числовой функции. Способы задания функций.

Пусть D – множество на числовой прямой R. Если каждому х принадлежащему D поставлено в соответствие единственное число y=f(x), то говорят, что задана функция f.

Способы задания функций:

1) табличный – для функций, заданных на конечном множестве.

2) аналитический

3) графический

2 и 3 – для функций, определенных на бесконечном множестве.

Понятие обратной функции.

Если функция y=f(x) такова, что разным значениям х аргумента соответствуют разные значения у функции, то переменную х можно выразить как функцию переменной у: x=g(y). Функцию g называют обратной к f и обозначают f^(-1).

Понятие сложной функции.

Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Пусть даны функции f(x) и g(x). Составим из них две сложные функции. Считая функцию f внешней (главной), а функцию g – внутренней, получаем сложную функцию u(x)=f(g(x)).

Определение предела последовательности.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного существует номер n0, начиная с которого все члены посл-ти отличаются от а по модулю меньше, чем на ε (т.е. попадают в ε-окрестность точки а):

Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

1.Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. 2. Если все элементы последовательности {x n } равны С (постоянной), то предел последовательности {x n }, тоже равен С. 3. ; 4. ; 5. .

Определение ограниченной последовательности.

Посл-ть {x n } называется ограниченной, если множество чисел X={x n } ограниченно: .

Определение бесконечно малой последовательности.

Посл-ть {x n } наз-ют бесконечно малой, если для любого (сколь угодно малого) >0 найдется такой номер n 0 , что для всякого n>n 0 выполняется нерав-во |x n |< .

Определение бесконечно большой последовательности.

Посл-ть наз-ют бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) числа А>0 найдется такой номер n 0 , что для всякого номера n>n 0 выполняется нерав-во |x n |>A.

Определение монотонных последовательностей.

Монотонные посл-ти: 1) возрастающая, еслиx n x n +1 для всех n, 4) невозрастающей, еслиx n x n +1 для всех n.

Определение предела функции в точке.

Пределом ф-ии y=f(x) в точке x 0 (или при x x 0) наз-ют число а, если для любой посл-ти{x n } значений аргумента, сходящейся к х 0 (при этом все x n x 0), посл-ть {f(x n)} значений ф-ии сходится к пределу а.

Определение бесконечно малой функции.

Ф-ия f(x) наз-ся бесконечно малой при х→А, если .

Определение бесконечно большой функции.

Ф-ия f(x) наз-ся бесконечно большой при х→А, если .

Приводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности.

Содержание

См. также: Определение предела последовательности

Определение

Последовательность { β n } называется бесконечно большой последовательностью , если для любого, сколь угодно большого числа M , существует такое натуральное число N M , зависящее от M , что для всех натуральных n > N M выполняется неравенство
|β n | > M .
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности .

Если , начиная с некоторого номера N 0 , то
( сходится к плюс бесконечности ).
Если же , то
( сходится к минус бесконечности ).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1) .
(2) .
(3) .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M - произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность" , , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4) ,
где M 1 и M 2 - произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности .
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .

Также иногда вводят понятия ε - окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε - окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε - окрестность точки a . Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε - окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех номеров n > N ε члены x n принадлежат ε - окрестности точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Пример 1

.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1) .
В нашем случае
.

Вводим числа и , связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и , то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n . Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .

Итак, для любого можно найти натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что . То есть последовательность является бесконечно большой.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

(2) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
.

Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , так что для всех ,
.
Это означает, что .

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , то
.

При заданном , в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2) .

Поскольку n есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводим числа и M , связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Итак, для любого числа M можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что .

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также: