Классификация действительных чисел. Понятие числа

Натуральные числа - это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не является натуральным. Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]

Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) обозначают буквой N.

Целые числа

Научившись считать, следующее, что мы делаем - это учимся производить над числами арифметические действия. Обычно сначала (на счетных палочках) учатся выполнять сложение и вычитание.

Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем. (3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)

На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии. А что такое "минус три мешка"? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна. Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, ...). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.

Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.

Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения. Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.

Рациональные числа

Теперь деление. По аналогии с тем, как вычитание является обратной операцией для сложения, приходим к идее деления как обратной операции для умножения.

Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.

А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.

А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42. Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.

Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.

Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).

Обыкновенные и десятичные дроби

Можно сказать, что любая обыкновенная дробь m/n (m – любое целое, n – любое натуральное) представляет собой просто специальную форму записи результата деления числа m на число n. (m называют числителем дроби, n – знаменателем) Результат деления, например, числа 25 на число 5 тоже можно записать в виде обыкновенной дроби 25/5. Но в этом нет необходимости, так как результат деления 25 на 5 может быть записан просто целым числом 5. (И 25/5 = 5). А вот результат деления числа 25 на число 3 уже не может быть представлен целым числом, поэтому здесь и возникает необходимость использования дроби, 25:3=25/3. (Можно выделить целую часть 25/3= 8 целых 1/3. Более подробно обыкновенные дроби и операции с обыкновенными дробями будут рассмотрены в следующих статьях.)

Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.

Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби. Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001). Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.

Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).

Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).

Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.

Действительные числа

Существуют такие числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n (где m-целое, n-натуральное).

Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.

Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3. А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом. (Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.

В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости.
Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом. (Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).)
А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Интуитивное представление о числе, по–видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только “один”, “два” и “много”, подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово “три” использовалось только в сочетаниях “три дерева” или “три человека”; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова “один” и “первый”, равно как “два” и “второй”, во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета “один”, “два”, “много”, слова “три” и “третий”, “четыре” и “четвертый” ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по–видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово “двадцать три” – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий “два раза по десять и три”. Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерений или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Основные виды чисел

В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности .

Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х 2 представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х 10 . Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь в точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть - степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент $\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

*Привыкшие к требовательности мисс Дэвис ученики, появились в классе за несколько минут до конца перемены. Никто не спешил доставать пергаменты и перья, зная, что с началом лекции те сами появятся на партах. Вместо этого студенты принялись наблюдать за тем, как мисс Дэвис при помощи магии развешивает на доске многочисленные графики, таблицы и диаграммы, один вид которых мог нагнать уныние и тоску*
- Вижу, многие из вас уже успели ознакомиться с материалом лекции - *коротко поприветствовав собравшихся, продолжила чародейка* - Наша с вами задача на сегодня – сделать так, чтобы этот материал был вами не только увиден, но и понят - *звон школьного колокола прервал Эйн и та досадливо поморщилась*
//Материала, как обычно, много, а времени, как всегда, не хватает. И на Нумерологию в школьной программе отведено так мало часов//
- Не будем терять время и начнем прямо сейчас.
*Ужас, застывший на лицах некоторых студентов, явственно намекал на то, что они сейчас с удовольствием занялись бы не громоздкими и сложными вычислениями, а чем-нибудь другим. Но профессор была неумолима*
- На прошлых занятиях мы познакомились с различными алфавитными нумерациями. А с сегодняшнего дня начнем знакомиться с их применением в нумерологических вычислениях. И начнем с тех из них, которые были разработаны нумерологами Древней Греции.
- Например, с психоматрицы Пифагора? - *уточнила рыжеволосая старшекурсница за первой партой*
- Не путайте, мисс Гаррет - *предупредила ее профессор* - Психоматрица и квадрат Пифагора – это совершенно разные вещи. В основе психоматрицы лежит квадрат Пифагора, а не наоборот. Она появилась гораздо позже и была разработана русскими нумерологами вдали от территории современной Греции. Методики расчета и анализа результатов в обоих случаях различаются так сильно, что говорить о слиянии психоматрицы и квадрата Пифагора не приходится. И, раз уж мы заговорили о Пифагоре, то с него, пожалуй, и начнем. Для тех, кто не помнит, как выглядит этот древний ученый муж, напомню – именно так - *повинуясь легкому взмаху палочки волшебницы, на доску отправился довольно большой портрет*

Он родился в 570 году до нашей эры на острове Самос, в семье Мнесарха и Партениды. О том, чем же на самом деле занимались родители Пифагора, точных сведений нет. Одни называют Мнесарха самосским камнерезом, другие – финикийским купцом из Тира, переехавшим на Самос и женившимся на знатной гречанке. Рождение Пифагора было предсказано дельфийской прорицательницей Пифией. Волшебница сказала, что сын Мнесарха «принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой». Счастливый отец решил назвать новорожденного Пифагором, и даже жене дать имя Пифаида. Мальчик и впрямь оказался очень одаренным – в 18 лет он отправился в Египет, имея при себе рекомендательное письмо от самого Поликрата. Там Пифагор постигал знания, недоступные простым чужеземцам, и потратил на это 22 года. Еще 12 лет обучения прошли в Вавилоне, куда ученый попал после завоевания Египта царем Камбизом. Именно во время изучения египетских и вавилонских трактатов, Пифагор увлекся Нумерологией. Возвратившись на родной Самос 56-летним стариком, он задумался, почему его учителя, изучая влияние чисел на судьбы людей, оставляли без внимания влияние имен. Ведь любое имя может быть записано в виде определенной последовательности цифр. Да и знакомая всем нам ионийская нумерация была хорошим подспорьем для проверки ученым его гипотезы. Думал Пифагор и о несовершенстве существующей на тот момент классификации чисел. А точнее, о практически полном ее отсутствии. Идеи Пифагора людям того времени казались смелыми и необычными, но все же он сумел найти единомышленников. Ученики и последователи Пифагора позже объединились в некое подобие ордена и стали называться пифагорейцами. Именно пифагорейцами была создана принципиально новая классификация чисел, которая используется многими нумерологами и в наши дни - *девушка указала палочкой на один из плакатов, и изображение стало чуточку ярче, давая возможность даже студентам с галерки без труда прочитать написанное*

Четные	Нечетные
Четно-четные	Составные
Четно-нечетные	Несоставные
Нечетно-четные (Нечетно-нечетные)	Несоставные-составные
Совершенные
Сверхсовершенные
Несовершенные

- Нечетные числа – это числа, состоящие из двух частей, одна из которых четная, а вторая – нечетная. Например: 4 (четная часть) + 3 (нечетная часть) = 7. Нечетное число также можно записать в виде m=2k+1, где k € Z. То есть, k принадлежит множеству целых чисел, и дробные мы в этом случае не рассматриваем.
Четные числа – это числа, состоящие из двух частей, обе из которых либо четные, либо нечетные. Например: 4 (четная часть) + 4 (четная часть) = 8 = 5 (нечетная часть) + 3 (нечетная часть). Четное число также можно записать в виде m=2k, где k € Z. И здесь k тоже является частью множества целых чисел.
Магглы дали бы несколько иное, отличное от пифагорового, определение четности чисел. С их точки зрения четность – это характеристика целого числа. А четные числа – это такие целые числа, которые способны делиться на 2 без остатка. Нечетные числа, соответственно, нацело на 2 не делятся.
*Эйн указала палочкой на нижнюю часть плаката*
(6 + 6) = 12 = (7 + 5) – четное по Пифагору
12:2 = 6 – четное
12 = 2*6, где m=12, k=6
(10 + 5) = 15 – нечетное по Пифагору
15:2 = 7,5 - нечетное
15 = (2*7) + 1, где m=15, k=7
- В нумерологии гораздо чаще используется именно то определение четных и нечетных чисел, которое дал Пифагор.
Составные числа – это числа, которые делятся без остатка на самих себя, единицу и некоторые другие делители. Например: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) и так далее.
Несоставные числа - это числа, которые делятся без остатка на самих себя и единицу. Например: 3 (1 и 3), 5 (1 и 5), 7 (1 и 7), 11 (1 и 11), 13 (1 и 13) и так далее. Такие числа некоторые нумерологи еще называют линейными. С точки зрения пифагорейцев, их можно изобразить в виде линии, состоящей из последовательно стоящих друг за другом точек.
Несоставные-составные числа – это числа, которые не имеют общего делителя, но каждое из них само по себе делимо. Например: 9 (1; 3; 9) и 25 (1; 5; 25). Как видим, такого общего числа, на которое и 9, и 25 делились бы без остатка, действительно нет. Эти числа всегда рассматриваются в паре.
С четными числами все немного сложнее.
Четно-четные числа - это числа, которые получаются путем удвоения, начиная с единицы. Например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Пифагор считал эти числа совершенными, ведь каждое из них можно было поделить на 2 один или несколько раз, и так вплоть до получения 1. У четно-четных чисел есть ряд уникальных свойств. Так, сумма любого числа терминов 1, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. Страшно? - *спросила студентов Эйн* - Вовсе нет. Рассмотрим пример: (1+2+4+8)=(16-1). Ранее мы с вами уже говорили о том, что же такое четно-четные числа. И если бы нам захотелось записать последовательность этих чисел, мы бы получили вот такие результаты: 1, 2, 4, 8, 16, 32... Значит, следом за 8 должно идти число 16. Но, в соответствии со свойствами четно-четных чисел, при сложении первых четырех чисел мы получим не 16, а 15. Число, на один меньше того, которое могли бы ожидать, глядя на последовательность четно-четных чисел. Числовой ряд, состоящий из таких чисел, тоже имеет одно интересное свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний до тех пор, пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число. И если это число умножить на само себя, получится последнее число в ряду.
Четно-нечетные числа - это числа, которые можно разделить на 2 без остатка всего один раз. Например: 2, 6, 10, 14 и так далее. Если мы попробуем разделить на 2, к примеру, 10, то получим 5. Но если мы попробуем разделить на два 5, то целое число уже не получим. Точно так же все остальные четно-нечетные числа в ряду можно нацело разделить на 2 только один раз. Четно-нечетные числа получаются путем умножения нечетных чисел на 2. Например: 2 (1*2), 6 (3*2), 10 (5*2), 14 (7*2). У четно-нечетных чисел тоже есть свои уникальные свойства. Так, если такое число разделить на нечетный делитель, частное в любом случае будет четным. А если делитель такого числа четный, нечетным будет частное. Например:
14:7 (нечетный делитель)=2 (четное частное)
14:2 (четный делитель) = 7 (нечетное частное)
Числовой ряд таких числе тоже обладает своими собственными свойствами. Так, любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе его стороны в ряду. Давайте разбираться в этой премудрости. Возьмем, к примеру, числа 10, 14 и 18. В нашем числовом ряду четно-нечетных чисел 10 и 18 будут стоять по обе стороны от числа 14: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. При этом 10+18=28. А 28:2=14. То есть, 14 действительно является половиной суммы своих соседей по ряду.
С третьим пунктом пифагоровой классификации дела обстоят несколько хуже. Ученые до сих пор спорят о том, как же именно называть эту группу чисел: нечетно-четными или нечетно-нечетными. В разной литературе вы можете встретить и то, и другое название. Поэтому лучше запомните оба, но знайте, что по сути это одно и то же. Нечетно-четные числа занимают промежуточную позицию между четно-четными и четно-нечетными числами. При их последовательном делении на 2 нельзя получить единицу, да, но зато их можно нацело делить на 2 больше одного раза. Нечетно-четные числа получаются путем умножения четно-четных чисел больше 2 на нечетные числа. Некоторые нечетно-четные числа образуются путем умножения ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных чисел.
Чтобы понять, к какому виду относится то или иное четное число, его нужно разложить на составляющие. При этом количество частей, на которые будет разложено число, должно соответствовать количеству его делителей. Например, число 6. Оно делится на 2, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+3+1=6; 6/6=1. Из этого мы можем сделать ввод о том, что:
Совершенные числа – это числа, сумма частей которых равна целому.
Но бывают и другие числа. Такие, например, как 18. Оно делится на 2, 9, 6, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+9+3+6+1= 21; 18/18 =1. Сумма частей явно больше целого. В таком случае, число считается сверхсовершенным.
Сверхсовершенные числа - это числа, сумма частей которых превышает целое.
Рассмотрим еще один пример. Число 8. Оно делится на 2, 4, 1 и на само себя. Следовательно, 2+4+1=7; 8/8=1. Сумма частей меньше целого. А это значит, что мы подошли к понятию несовершенных чисел.
Несовершенные числа - это числа, сумма частей которых меньше целого.
- Профессор, а нечетные числа могут быть совершенными? - *уточнила серьезная девушка с гербом Хаффлпаффа на мантии*
*В классе раздались сдавленные смешки*
- Зря смеетесь - *одернула весельчаков волшебница* - Мисс Тайлер задала очень правильный вопрос. Действительно, нечетное число может быть совершенным. Правда, пока только в теории - *вздохнула девушка* - Ученым-нумерологам точно известно, что такое число должно иметь 9 простых делителей и 75 простых делителей с учетом кратности. Само число пока обнаружено не было, но никем не доказано, что оно не существует. Сейчас некоторые нумерологи занимаются поисками такого числа. Быть может, кому-нибудь из вас в будущем повезет стать его первооткрывателем.
- В зависимости от того, к какой группе относится то или иное число, оно обладает определенными свойствами - *продолжила лекцию чародейка* - И именно эти свойства влияют на судьбу человека. Четные числа пифагорейцы связывали с пассивным женским началом. Эти числа - отображение замкнутых процессов в природе и самом человеке, цикличных изменений в рамках единого целого. Четные числа могут влиять на что-то количественно, но не качественно. Нечетные числа, наоборот, обычно связывают с активным мужским началом. Они - отображение открытых систем и переходных процессов. Нечетные числа изменяют что-либо качественно, а не количественно.
- Совершенные числа самые лучшие - *крикнул вихрастый второкурсник с красной нашивкой на мантии*
*Профессор Дэвис нахмурилась: этого студента она не помнила, он был на лекции впервые*
- Верно, мистер… Уолтон - *сверяясь с журналом, ответила она* - Но впредь, не сочтите за труд, поднимайте руку. Действительно, Пифагор видел в совершенных числах символ добродетели, золотой середины между недостатком и излишеством. Чем больше совершенных чисел окружает человека, тем больше добродетелей в нем самом. Несовершенные же числа Пифагор называл символами порока. Соответственно, чем хуже человек, тем больше несовершенных чисел его окружает. Но об определенной степени влияния чисел на судьбу мы уже говорили на нашем первом занятии. Судьба поливариантна и выбор зачастую зависит только от нас самих. Числа являются нашими путеводными звездами, но сам путь выбираем мы. Поэтому говорить о том, что кто-то стал успешным только благодаря счастливой дате рождения, а кто-то родился под несчастливой звездой и потому вырос негодяем, нельзя. Но вернемся к нашей классификации. Впоследствии пифагорейцы существенно дополнили и расширили ее. Особенно отличились в этом деле Гиппас из Метапонта, Дамо, гипотетическая дочь Пифагора и Феано, Модерат из Кадиса, Тимей Локрийский, Феано, жена Пифагора, Филолай и Экфант из Сиракуз. Согласно работам этих пифагорейцев, числа бывают и вот такими - *профессор указала палочкой на очередной плакат, и тот сразу стал гораздо ярче и заметнее*

Продолжатели дела великого ученого долго спорили о том, можно ли считать ноль числом, а также о том, каким именно образом его классифицировать и в какую группу определить. Немало споров вызвала и единица. В результате ей была отведена важная роль первичного четно-нечетного числа. Именно она легла в основу дополненной классификации, созданной талантливыми нумерологами древности. В соответствии с этой классификацией:
Квадратные числа – это числа, получающиеся при сложении чисел нечетных. Например: 1+3=4; 1+3+5+7=16; 1+3+5=9; 3+13=16. Эти числа пифагорейцы иногда изображали в виде квадратов.
Прямоугольные числа - это числа, получающиеся при сложении чисел четных. Например: 2+4=6; 2+4+6=12.
Треугольные числа - это числа, получающиеся при сложении четных и нечетных чисел по порядку. Например: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10. Эти числа, с точки зрения пифагорейцев, могут быть изображены треугольниками.
Пятиугольные числа - эти числа, по мнению пифагорейцев, могут быть изображены пятиугольниками. К пятиугольным числам относят 5, 12 и 22.
Практически любое число может относиться ко всем трем категориям. В зависимости от тех или иных расчетов, оно может быть и квадратным, и треугольным, а также прямоугольным и пятиугольным.
- Теперь поговорим о том, какими же именно свойствами наделяли числа первые исследователи - *волшебница указала палочкой на большой плакат, испещеренный цифрами и их трактовками*

Число	Название	Изображение	Свойства
			Первичное четно-нечетное число, основа всего сущего. Число начинаний, положительной динамики и силы. Диоген Лаэртский отмечал, что из монады проистекает весь числовой ряд. Из монады исходит диада, из диады – все остальные числа, а из них - точки, линии, «двумерные» и «трехмерные сущности» и тела. Символизирует прямолинейность, независимость, лидерство и смелость, в несовершенном виде может символизировать агрессию и эгоизм.
			Вторичное число, выражающее принцип двойственности всего сущего. Самое «мягкое» число, символ сотрудничества и дипломатичности. Обычно диада встречается в дате рождения или имени будущего наставника и советника. Придает дополнительную жизненную силу, многие долгожители и здоровяки даже не подозревают о том, что этим они обязаны не только здоровому образу жизни и регулярным физическим нагрузкам.
			Самое прекрасное, с точки зрения пифагорейцев, число. Единственное из всех натуральных чисел представляет собой сумму своих предшественников. Единственное число, у которого сумма предшественников равна их же произведению. Триада – одно из чисел магии. Традиционно числами магической силы считаются 3, 7 и 11. Очень мощное созидательное и мотивационное число. Символизирует оптимизм, самовыражение и удачу.
			Еще одно любимое число пифагорейцев. Первое число, полученное путем сложения и умножения равных чисел. Символ справедливости, упорядоченности, точности и надежности. Человеку прививает любовь к порядку и правилам, анализу и систематизации, усиливает упорство в достижении цели, четность и искренность.
			Этот символ носили при себе все пифагорейцы. Благодаря ему они узнавали единомышленников. Число жизни, власти и неуязвимости. В своих трудах Никомах писал: «Правосудие – это пентада». Пифагорейцы считали пентаду священным числом, символом объединения мужского и женского начал, любви и брака.
			Число равновесия мироздания. Символ здоровья и неиссякаемой жизненной энергии.
			Пифагорейцы называли эннеаду «числом-горизонтом», разграничивающим числа первого и всех последующих десятков. Символ завершения, таланта, артистизма, идеализма и альтруизма.
			Число схождения, пифагорейцы видели в нем символ соединения земли и неба. Декаду было принято изображать в виде священного символа тетраксиса.

*Волшебница перевела палочку с таблицы на одно из изображений*

Очень часто вместо того изображения декады, которое дано в таблице, пифагорейцы писали вот такой священный знак тетраксис, символ гармонии и Вселенной. Конечно, их трактовку нельзя рассматривать как единственно правильную и верную. У нумерологов других стран этим числам могут быть даны совершенно иные характеристики. И все же пифагорейские характеристики пользуются большим уважением среди нумерологов. В ряде случае они очень полно и точно отражают истинную сущность большинства чисел. И…
*Но школьный колокол вновь самым наглым и беззастенчивым образом прервал профессора*
//Уже?//
*Девушка вытащила из кармана мантии серебряные часы на тонкой цепочке и убедилась в том, что время вышло и лекцию действительно пора завершать*
- На сегодня все. О квадрате Пифагора и других не менее интересных вещах поговорим на следующей лекции. Домашнее задание на доске - *Эйн раздвинула несколько плакатов и освободила немного места. Коснувшись доски волшебной палочкой, она дала студентам возможность переписать появившееся там задание*

Задания

1. Один из студентов на лекции поддался лени и не стал подробно записывать выдаваемую мисс Дэвис информацию. А теперь и сам запутался в собственных записях. Как вы думаете, о каких пифагорейских числах здесь идет речь? Аргументируйте.
   - Первичное всевидящее око
   - Два кольца здоровья
   - Тетрадка порядка
   - Вызови демона правосудия
   - Звезда равновесия
   - Многауглофф в голове мудреца
   - Первая кубическая штуковина
   - Лотос идеалиста
   - Три небесно-земных пламбоба в круге
2. Приведите минимум по одному примеру замкнутых количественных процессов в человеческом организме и открытых качественных в окружающей человека среде. Например, ежегодное взросление/старение человека на 1 год – это цикличный замкнутый количественный процесс.

Дополнительные задания

1. 1. Сочинение. Вам предстоит сложный экзамен, к которому вы не очень хорошо готовы. Услышав от однокурсников о том, что изображение одного из пифагорейских чисел на пергаменте приносит удачу при тестировании. Вы решаете попробовать. Какой именно знак вы нанесете на свой экзаменационный пергамент и почему?
2. 1. Доклад «Не так страшен знак, как его малюют». Пентаграмма не всегда была отрицательным символом – ее изображал на своих печатях Александр Македонский, а легендарный сэр Гавейн носил на своем щите. Расскажите о том, какой сложный историко-культурный путь прошел этот амбивалентный символ. (1000 символов)
3. 1. Ролевой отыгрыш «Семейная мелодрама». Вам крупно не повезло - ваша младшая сестра родилась сквибом. Пока родители не сообразили, что к чему, вы решили взять ситуацию в свои руки и исправить ее. Вам известно, что 3 с точки зрения пифагорейцев – это число магии. А значит, если окружить несчастную тройками, теоретически, в ней должна проснуться полноценная магия. Отыграйте свои попытки помочь и постарайтесь не попасться на глаза родителям, чтобы все тайное не стало явным.
4. 1. Задание на фантазию. Вам крупно повезло – вы являетесь личным нумерологом Волдеморта/Гарри Поттера (выбор персонажа на ваше усмотрение). Вы посоветовали своему патрону всегда иметь при себе знак тетраксиса – он должен обеспечить успех в любых делах. Однако ожидаемого успеха почему-то нет как нет, ваш патрон недоволен и намерен уволить вас на бумаге или посредством Авады. Постарайтесь сохранить не только свое место, но и жизнь. Задание можно оформить в виде ролевого отыгрыша.
5. (Эта лекция только для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 курсов)