Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

(
) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) и вектор
.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.

(
) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора
и
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у,z), принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Теорема. Если в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали (A , B , C ) имеет вид:

A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору
. Тогда скалярное произведение

= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив
, получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.

Получаем:

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Найти длину ребра А 1 А 2 .

Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .

Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .

Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 как векторное произведение векторов
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором
.

-4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90 0 - .

Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .

Найти объем пирамиды.

Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам

Указание: 1способ . Возьмем произвольную точку плоскости M (x, y, z). Векторы будут компланарны, так как они расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведение
Записывая это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости:

Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой строке.

2 способ . Векторы
параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторов
перпендикулярен этой плоскости, т.е.
и
. Векторявляется нормальным вектором плоскости. Если
и
, то вектор находится по формуле:

Уравнение плоскости находим по точке
и нормальному вектору

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору
.(
неколлинеарны).

Указание: 1 способ. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и
располагаются в параллельных плоскостяхи, следовательно, компланарны, т.е. их смешанное произведение
Записав это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости .

2 способ . Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению векторов
, т.е.
или в координатах:

Уравнение искомой плоскости найдется по нормальному векторуи точке
(или точке
)по формуле (2.1.1)

(см. пример 1 пункт 2.2).

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0.

Указание: Нормальный вектор найдем из общего уравнения данной плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Векторперпендику-лярен данной плоскости, следовательно, он перпендикулярен любой плоскости, параллельной ей. Векторможно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1 пункт 2.2).

Ответ:

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y – 2z + 1 =0 и

x + y + z – 5 = 0.

Указание: 1 способ. Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы (координаты векторов найдены из общих уравнений плоскостей, формула (2.2.1)) перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Искомая плоскость проходит через точку
параллельно двум векторам
(см. задачу 1 пункт 5).

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке, получим искомое уравнение.

2 способ. Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору по формуле (2.2.1). Нормальный векторравен векторному произведению векторов
,т.е.
Так как векторы
перпендикулярны линии пересечения плоскостей, то вектор параллелен линии пересечения плоскостей и перпендикулярен искомой плоскости.

Векторы (см. формулу 2.2.1), тогда

Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору

(см. пример 1 пункт 2.2)

Ответ:

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
и
перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z +15 = 0.

Указание: 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости

3x – y + 3z +15 = 0:
Так как плоскости перпендикулярны, то векторпараллелен искомой плоскостиСоставим уравнение искомой плоскости
которая параллельна векторуи проходит через точки
(см. решение задачи 2 пункт 5; 1 способ).

Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и вектору нормали
Вектор

Составляем уравнение искомой плоскости .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (см. задачу 2 пункт 5; 2 способ). Разделим обе части уравнения на 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Ответ: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

и

Указание: Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки (см. пример 1, пункт 2.3, формула 2.3.1).

Раскрывая определитель, получим

Ответ:

Замечание. Для проверки правильности вычисления определителя рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскостиx – 4y + 5z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнение данной плоскости
x – 4y + 5z + 1 = 0 найдем нормальный вектор
(формула 2.2.1). Векторперпендикулярен к искомой плоскости
Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1; пункт 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам

Указание: См. решение задачи 1 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x – y – z – 1 = 0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.

Указание: См. решение задачи 4 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x +2y – z – 8 = 0.

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

перпендикулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.

Указание: См. решение задачи 5 пункт 5.

Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

параллельно прямой, определяемой точками A (5; –2; 3) и B (6; 1; 0).

Указание: Искомая плоскость параллельна прямой AB, следовательно, она параллельна вектору
Уравнение искомой плоскостинаходим, как в задаче 2 пункта 5 (одним из способов).

Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. ТочкаP (2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Указание: Нормальным вектором к искомой плоскости является вектор
Найдем его координаты.P (2; –1; –2) и O(0; 0; 0)

т.е.
Составим уравнение плоскостипо точке и нормальному вектору
(см. пример 1, пункт 2.2).

Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости: а)xoy; б) yoz; в) xoz.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиoz перпендикулярен плоскости xoy, следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости
Составляем уравнение плоскости по точкеA (0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), т.к.
(см. решение задачи 3, пункт 5).
z – 2 = 0.

Аналогично решаем задачи б) и в).

б)
где
(1; 0; 0).

в)
где(0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Ответ: а) z – 2 = 0 ; б) x = 0; в) y + 1 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 1; –1) перпендикулярно плоскости: а) xoy; б) xoz.

Указание: Нормальным вектором плоскости xoy является вектор

= (0; 0; 1) – единичный вектор оси oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки
и B (2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор
(0; 0; 1), используя один из способов решения задачи 5 пункта 5.
y – 1 = 0.

Аналогично для задачи б):
где = (0; 1; 0).

Ответ: а) y – 1 = 0 ; б) x + z – 1 = 0.

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 3; –1) параллельно оси oz.

Указание: На оси oz можно взять единичный вектор = (0; 0; 1). Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 5 (любым способом).

Ответ : x – y + 1 = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ox и точку

Указание: Плоскость
проходит через осьox, следовательно, и через точку O(0; 0; 0). На оси ox можно взять единичный вектор = (1; 0; 0). Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкамA(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору параллельному плоскости. (См. решение задачи 2 пункт 5).

Ответ: 6y + z = 0.

17. При каком значении А плоскости Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 будут перпендикулярны?

Указание: Из общих уравнений плоскостей

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и
2x – y + 2z = 0 векторы нормалей

= (А; 2; –7) и
= (2; –1; 2) (2.2.1). Условие перпендикулярности двух плоскостей(2.6.1).

Ответ: A = 8.

18. При каком значении А плоскости 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и

4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?

Указание:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 и
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и
= (4;A; –12) (2.2.1). Т.к.
(2.5.1)

Ответ: A = 6.

19. Найти угол между двумя плоскостями 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0.

Указание:
2x + y + z + 7 = 0 и
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Ответ :

20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

A (1; 2; –3) параллельно вектору =(1; –2; 1).

Указание: См. решение примера пункта 3.1.

Ответ :

21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

A (–2; 3; 1) параллельно вектору =(3; –1; 2).

Указание: См. решение примера пункта 3.2.

Ответ :
.

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4) .

Указание: См. решение примера 1 пункта 3.3.

Ответ: а)
б)

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Указание: См. пример 1 пункт 3.4. Пусть z = 0, тогда координаты x и y точки
находим из решения системы

Следовательно, точка
, лежащая на искомой прямой, имеет координаты

(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей
x – 2y +3z – 4 = 0 и
3x + 2y – 5z – 4 = 0

находим нормальные векторы =(1; –2; 3) и
=(3; 2; –5).

Канонические уравнения прямой находим по точке
(2; –1; 0) и направля-ющему вектору

(См. формулу (3.1.1)).

Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (3.2.1) или из канонических уравнений:
Имеем:

Ответ :
;
.

24. Через точку
(2; –3; –4) провести прямую, параллельную прямой

.

Указание: Канонические уравнения искомой прямой найдем по точке
и направляющему векторуТак как
то за направляющий векторпрямойможно взять направляющий векторпрямойL. Далее см. решение задачи 23 пункт 5 или пример 1 пункт 3.4.

Ответ :

25. Даны вершины треугольника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Указание: Координаты точки M найдем из условия AM = MC (BM – медиана треугольника ABC).

Составим канонические уравнения прямойBM по двум точкам B (2; 4; –1) и
(См. пример 1 пункт 3.3).

Ответ :

26. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
(–1; –2; 2) параллельно осиox.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой
= (1; 0; 0). Составим уравнения прямой по точке

(–1; –2: 2) и вектору = (1; 0; 0) (см. пример пункт 3.1 и пример 1 пункт 3.2).

Ответ :
;

27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
(3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения плоскости
5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор = (5; 3; –7). По условию искомая прямая
следовательно, вектор
т.е. векторявляется направляющим вектором прямойL: = (5; 3; –7). Составляем канонические уравнения прямой по точке
(3; –2; 4) и направляющему вектору

= (5; 3; –7). (См. пример пункт 3.1).

Ответ :

28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.

Указание: Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости
4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O (0; 0; 0). (См. решение задачи 27 пункт 5 и примера 1 пункт 3.2).

Ответ:

29. Найти точку пересечения прямой
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0.

Указание: Чтобы найти точку M пересечения прямой

L:
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0, надо решить систему уравнений:

;

Для решения системы канонические уравнения прямой преобразуем к параметрическим уравнениям. (См. задачу 23 пункт 5).

Ответ :

30. Найти проекцию точки M (4; –3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки М на плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость
и плос-костиСоставим параметрические уравнения пер-пендикуляра МР.(См. решение задачи 28 пункт 5).

Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости (См. решение задачи 29 пункт 5).

Ответ:

31. Найти проекцию точки А(1; 2; 1) на прямую

Указание: Проекцией точки А на прямую L:
является точкаВ пересечения прямой L и плоскости
которая проходит через точку А и перпендикулярна прямойL. Из канонических уравнений прямой L выпишем направляющий вектор =(3; –1; 2). Плоскостьперпендикулярна прямойL, следовательно,
Таким образом, векторможно взять за нормальный вектор плоскости
= (3; –1; 2). Составим уравнение плоскостипо точке А(1; 2; 1) и= (3; –1; 2) (см. пример 1 пункт 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Найдем точку В пересечения прямой и плоскости (см. задачу 29 пункт 5):

Ответ :

32. Через точку M (3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум плоскостям x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0.

Указание: Плоскости
x – y + z – 3 = 0 и
x + y + 2z – 3 = 0 не параллельны, т.к. не выполняется условие (2.5.1):
Плоскости
пересекаются. Искомая прямаяL, параллельная плоскостям
параллельна линии пересечения этих плоскостей. (См. решение задач 24 и 23 пункт 5).

Ответ :

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две прямые

Указание: 1 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
, лежащей на прямой, и нормальному вектору. Векторбудет равен векторному произведению направляющих векторов прямых
, которые найдем из канонических уравнений прямых
(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координаты точки
найдем из канонических уравнений прямой

Составляем уравнение плоскости по точке
и вектору нормали=(–34; 46; 20) (см. пример 1 пункт 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2 способ. Находим направляющие векторы = (7; 3; 5) и= (5; 5; –3) из канонических уравнений прямых
Точку
(0; 2; –1) находим из уравнения

. Возьмем произвольную точку плоскости

M (x; y; z). Векторы
– компланарны, следовательно,
Из этого условия получаем уравнение плоскости:

Ответ : 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(2; 0; 1) и прямую

Указание: Убедимся прежде всего, что точка
на данной прямой не лежит:
Точку
и направляющий векторнаходим из канонических уравнений прямой
:
(1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормальный вектор искомой плоскости
Координаты нормального вектора найдем, зная координаты=(1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Составляем уравнение плоскости по точке
(2; 0; 1) и нормальному вектору= (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Ответ : 5x – 3y – z – 9 = 0.

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.

Что собой представляет уравнение в отрезках?

Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:

Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.

Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y - равную q, на z - длиною r.

Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).

Связь общего и в отрезках уравнений

Известно, что плоскость задана следующим равенством:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.

Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.

При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак "+". Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.

Нормальный вектор и точка на плоскости

Известно, что некоторая плоскость имеет (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.

Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:

Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Теперь можно записать полностью уравнение:

Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.

Две прямые, задающие плоскость

Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.

Известны два уравнения прямых:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.

Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:

Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.

Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:

Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 или z = 0.

Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).