Лекция по математике на тему "признак перпендикулярности двух плоскостей". Стереометрия Две плоскости называются перпендикулярными
Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.:
Подробнее во вложении
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок геометрии в 10 классе.
Тема урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Формируемые результаты:
Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.
Личностные: развивать познавательный интерес к геометрии, формировать умение представлять результат своей деятельности.
Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.
Оборудование: доска, готовые рисунки (слайд-фильм), модели, изготовленные учащимися и учителем, текст задачи на печатной основе.
Cлова Пойа Д.: «Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться».
1. Оргмомент.
2. Проверка домашнего задания.
1)Ученик с моделью двугранного угла рассказывает, как образуется его линейный угол; дает определение градусной меры двугранного угла.
2) Задача №1. (Слайд 2) – по рисунку.
3) Задача №2. (Слайд 3) – по рисунку.
К этим задачам вернемся позже перед доказательством признака.
3. Актуализация знаний.
1) Рассказ ученика о пересекающихся плоскостях (используется модель).
2) Определение перпендикулярных плоскостей (использует модель), примеры.
Вернемся к домашним задачам. Было установлено, что в обоих случаях двугранные углы равны 90°, т.е. являются прямыми. Посмотрим, какие символы нужно вставить вместо точек и сделаем вывод о взаимном расположении плоскостей (слайд 4).
(AFC) FO (ADC)
(AFC) (ADC).
Выясним, можно ли без нахождения двугранного угла сделать вывод о перпендикулярности плоскостей?
Обратите внимание на связь (слайд 5):
(DCC₁) DD₁ (ABC) (DCC₁) (ABC) и
(AFC) FO (ADC) (AFC) (ADC)
Формулирование предположения учащимися.
4. Изучение нового материала.
1). Сообщение темы урока: «Признак перпендикулярности двух плоскостей».
2). Формулировка теоремы (учебник): «Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны» ; показ на модели.
3). Доказательство проводится по заранее заготовленному чертежу (рис.62).
Дано: α, β – плоскости; α АВ β; АВ ∩ β = А
Доказать: α β.
Доказательство: 1) α ∩ β = АС
2) АВ АС (?)
3) Построим АD β; АD АС
4) L BAD - ……….. , L BAD = …. ° (?)
5) L (α, β) = 90°, т.е. α β.
5. Первичное закрепление (ПЗ).
1). Решение задачи 1 на готовом чертеже (слайд 6).
Дано: DА
Доказать: (DАС)
2). Решение задачи 2 на готовом чертеже + у каждого заготовленный вырезанный ромб (слайд 7).
Дано: АВСД – ромб;
Перегибаем по диагонали:
ВО
Докажи: (АВС)
3). Задача 3. «Слепой» текст на печатной основе (слайды 8-9).
Дано: рисунок; двугранный угол ВАСД – прямой.
Найди: ВД
Самостоятельно. Проверка.
6. Итоги урока. Информация о домашнем задании.
Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.
Напомним, что плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. А угол этот определяется так. Берут точку О на прямой С, по которой пересекаются плоскости , и проводят через нее в плоскостях прямые (рис. 1.9а). Углом между а и b и измеряется угол между . Когда этот угол прямой, то говорят, что плоскости взаимно перпендикулярны и пишут
Вы, конечно, уже заметили, что когда , то из трех прямых а, b, с любые две взаимно перпендикулярны (рис. 2.28). В частности, . Поэтому (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Аналогично,
Итак, каждая из двух взаимно перпендикулярных плоскостей содержит перпендикуляр к другой плоскости. Более того, эти перпендикуляры заполняют взаимно перпендикулярные плоскости. (рис. 2.29).
Докажем последнее утверждение. Действительно, если через любую точку плоскости а провести прямую
То (по теореме 5 о параллельности перпендикуляров).
А для признака перпендикулярности плоскостей достаточно одного перпендикуляра к плоскости.
Теорема 7. (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Пусть плоскость а содержит прямую а, перпендикулярную плоскости Р (рис. 2.28). Тогда прямая а пересекает плоскость Р в точке О. Точка О лежит на прямой С, по которой пересекаются . Проведем в плоскости Р через точку О прямую . Так как и b лежит в плоскости Р, то Следовательно,
Данный признак имеет простой практический смысл: плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 2.1). Другое практическое применение этого признака: когда требуется проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса - веревки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если в любом ее месте отвес, располагаясь вдоль нее, не отклоняется.
При решении задач, в которых встречаются перпендикулярные плоскости, часто используются следующие три предложения.
Предложение 1. Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.
Пусть плоскости взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой С. Пусть, далее, прямая а лежит в плоскости а и (рис. 2.28). Прямая а пересекает прямую С в некоторой точке О. Проведем через точку О в плоскости Р прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как то . Поскольку , то (по теореме 2).
Второе предложение обратно первому.
Предложение 2. Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.
Пусть плоскости взаимно перпендикулярны, прямая а также прямая а имеет с плоскостью а общую точку А (рис. 2.30). Через точку А в плоскости а проведем прямую перпендикулярную прямой С - линии пересечения плоскостей . Согласно предложению Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, то прямые а и совпадают. Так как лежит в плоскости а, то и а лежит в плоскости
Предложение 3. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
Пусть две плоскости , пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости у (рис. 2.31). Тогда через любую точку прямой а проведем прямую, перпендикулярную плоскости у. Согласно предложению 2, эта прямая лежит и в плоскости а, и в плоскости Р, т. е. совпадает с прямой а. Итак,
Перпендикулярность плоскостей
Определение.
Две плоскости называются перпендикулярными,
если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности
плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a
и
?
- две пересекающиеся плоскости, с
- прямая
их пересечения и а
- прямая
перпендикулярная
плоскости
?
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых
a
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим
перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
. Прямая
а
перпендикулярна
плоскости ?
,
а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b
и
с
перпендикулярны.
Угол между прямыми а
и Ь -
линейный плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так
как прямая
а
перпендикулярна прямой
b
(подоказанному).Поопределениюплоскости
a
и
?
перпендикулярны.
Теорема 1 .
Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных
плоскостей,провести
перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр
полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
-
перпендикулярные плоскости и с -
прямая их пересечения, А - точка
лежащаявплоскостиa
и не принадлежащая прямой с.
Пустьперпендикуляр к плоскости ?
проведенный из точки А
, не лежит в плоскости a
,
тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в
плоскости ?
и
не принадлежит прямой с.
Из точки А
опустим перпендикуляр АВ
напрямую с.
Прямая АВ перпендикулярна
плоскости (использую теорему 2).
Через прямую АВ и точку С
проведем плоскость ?
(прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в
плоскости
?
из одной точки А
на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не
может, значит прямая АС
совпадает с
прямой АВ, а прямая АВ в
свою очередь полностью лежит в плоскости a
.
Теорема 2 .
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр
к их линии
пересечения, то этот
перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
- две
перпендикулярные плоскости, с -
прямая их пересечения и а -
прямая
перпендикулярная прямой с
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых а
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
.
Угол
между прямыми
а
и
b
- линейный
угол при ребре двугранного угла между
плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так как плоскости
a
и
?
перпендикулярны. Прямая
а
перпендикулярна
прямой
b
(по доказанному) и прямой с
по условию.
Значит
прямая
а
перпендикулярна плоскости?
(
Понятие перпендикулярных плоскостей
При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $.
Определение 1
Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Определение 2
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).
Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Теорема 1
Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.
Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует следующая теорема.
Теорема 2
Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.
Доказательство.
Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)
Рисунок 3.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Теорема доказана.
Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).
Рисунок 4.
Решение.
По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.
Пример 2
Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).
Рисунок 5.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$.
Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.